INTERVALOS E INECUACIONES

TEMAS Y EXPLICACIONES EXPUESTOS POR EL DOCENTE EN CLASE

DERIVADAS

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.

La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en rojo; la tangente a la curva está dibujada en verde).

Función escalar: y= f(x)

Posibles usos de la derivada

1. La primera derivada se aplica para hallar la pendiente de una tangente, señalar los intervalos de crecimiento o decrecimiento, determinar los extremos de una función.

2. La segunda derivada para hallar el punto de inflexión y decidir si el caso es máximo o mínimo local.También si la concavidad es hacia arriba o hacia abajo.

3. La tercera derivada interviene en la torsión.

4. Y cualquiera derivada interviene en el desarrollo de una función en una serie de potencias en un dominio adecuado, todas ellas en otras cosas más.

ALGUNOS VÍDEOS CON EJERCICIOS:

SISTEMAS DE ECUACIONES

Definición:

Se llama Sistema de Ecuaciones TODO Conjunto de Ecuaciones Distintas Que Tiene Una o Más Soluciones Comunes.

Resolver las ONU Sistema de Ecuaciones simultáneas es Hallar el Conjunto de Valores Que satisfacen simultáneamente CADA una de las Ecuaciones.

Características de la ONU Sistema de dos Ecuaciones LINEALES Con Dos incógnitas.
Los Resultados característicos del resolver de Sistema de Ecuaciones Lineales DOS Con Dos variables de la ONU hijo:


EXISTE únicamente Una solución.

EXISTE Una CANTIDAD infinita de soluciones.

No  EXISTE  solución.


Un Sistema es consistente si Tiene Por lo Menos Una solución. Un Sistema ONU de la estafa Número infinito de soluciones es Dependiente y consistente. Un Sistema es inconsistente si Carece de solución.

Método de solución de sistemas de ecuaciones
Sustitución

Igualación

Reducción

Método de sustitución:

Sea El Sistema



PRIMERO En Una De Las Ecuaciones sí Halla El Valor De Una De Las incógnitas. despejemos la y en la Primera Ecuación suponiendo COMO Conocido el valor de x

y = 11 - 3x

Se Sustituye en La Otra Ecuación el valor anteriormente Hallado, es Decir Donde sí encuentre uña "Y" colocaremos "(11 - 3x)".

5x - (11-3x) = 13

Ahora TENEMOS Una Ecuación Con Una Sola incógnita; resolvemos Cual La normalmente

5x - 11 + 3y = 13
5x + 3x = 13 + 11
8x = 24
x = 3

Ya Conocido el valor de x lo sustituimos en la Expresión del valor de "y" que obtuvimos un partir de la Primera Ecuación del Sistema

y = 11 - 3x
y = 11 - 9
y = 2

Así La Solución al Sistema de Ecuaciones Propuesto sueros x = 3 e y = 2

EJEMPLO Método de Sustitución

Lo Que debemos HACER:

1 -. Despejar uña de Las incógnitas En Una De Las Ecuaciones.

2 -. Sustituir la Expresión obtenida en La Otra Ecuación.

3 -. Resolver la Ecuación Resultante.

4 -. Calcular La Otra incógnita es la Ecuación despejada.

EJEMPLO:

Resolver




Se despeja x en La Segunda Ecuación:

x = 8 - 2y

Se sustituyen en la Primera Ecuación:

3 (8 - 2y) - 4y = - 6

Operando:

24 - 6y - 4y = - 6

24 - 10y = - 6

- 10y = - 6-24

- 10y = - 30



Se Resuelve:

y = 3

Se Sustituye Este valor es La Segunda:

x + 2 (3) = 8

x + 6 = 8

x = 8 - 6 = 2

Solución del Sistema:

x = 2, y = 3

Método de igualación:

Sea El Sistema:



Lo Primero Que HAREMOS Sera despejar en las dos Ecuaciones La Misma incógnita




Igualamos Ambás Ecuaciones

11 - 3x = -13 + 5x
8x = 24
x = 3

Este valor de x lo sustituimos en CUALQUIERA de las Ecuaciones de y

y = 11 - 9
y = 2

EJEMPLO Método de igualación:

Lo Que debemos HACER:

1 -. Se despeja Una de las incógnitas en ambas Ecuaciones.

2 -. Se igualan Las Expresiones, estafa Lo Que obtenemos Una Ecuación estafa Una incógnita.

3 -. Se Resuelve la Ecuación Resultante.

4 -. El valor Residual sí Sustituye en CUALQUIERA de Las Dos Expresiones En Las Que aparecía despejada La Otra incógnita.

5 -. Los dos Valores obtenidos constituyen La Solución del Sistema.

EJEMPLO:
Resolver



Despejamos x en la Primera Ecuación:



Despejamos x en La Segunda Ecuación:

x = -1 - 2a

Igualamos Ambas Expresiones:


Se Sustituye Este valor en la Primera o Segunda Ecuación:

x = 3 + 2 (-1)

x = 3 - 2

x = 1

Solución del Sistema:

x = 1, y = -1

OTRO EJEMPLO:

Resolver, Por El Método de igualación, El Sistema



Despejamos, EJEMPLO POR, la incógnita x de la Primera y Segunda Ecuación:



Igualamos Ambas Expresiones:


LUEGO, resolvemos la Ecuación:



Sustituimos el valor de y, con baño uña de Las Dos Expresiones En Las Que TENEMOS despejada la x:

Método de Reducción:

Sea El Sistema



Sumaremos Miembro a Miembro de Las Dos Ecuaciones Que Componen El Sistema, la Intención es ELIMINAR Una porción variable de si lo Que No Se Puede ELIMINAR Ninguna. Así No Mas sí multiplicaran Las Ecuaciones, porciones de números  Que igualen alguno De Los Términos, para que el UNO se elimine:

EJEMPLO
Eliminamos  Para "y"





y sustituyendo Este valor en CUALQUIERA de las Ecuaciones del Sistema obtenemos

y = 2

ESTE MÉTODO SIRVE para Cualquier CANTIDAD De Ecuaciones estafadores La Única Condición de Que El Numero De las variables desconocidas ningún alcalde de mar a la CANTIDAD de Ecuaciones.

EJEMPLO Método de Reducción

Lo Que debemos HACER:

1 -. Se igualan los Coeficientes De Una incógnita, salvo el signo, eligiendo sin múltiplo Común de Ambos.

2 -. Puede Ser el Producto de los Coeficientes de la ESA incógnita.

3 -. Se suman o Restan, Según convenga, Las Ecuaciones.

4 -. Se Resuelve la ecuación de imprimación Grado Resultante.

5 -. Se calcula Otra incógnita sustituyendo el valor Residual En Una de las Ecuaciones del Sistema.

EJEMPLO:

Resolver



Primero sí Deben Igualar el 6 y el 8 de la incógnita x. Hacerlo Para, amplificamos La Primera Ecuación porción 4 y amplificamos La Segunda Ecuación porción -3. ESTO PORQUE al multiplicar 6x porción 24x 4 Queda; y al multiplicar 8x porción -3 fits-24x, y sí anulan Entre Si; o mar,: hemos Eliminado Una incógnita para Trabajar en solitario estafa La Otra (la y). LUEGO HACEMOS lo Mismo acondicionado la y.




                                    Se elimina la x: Se elimina la y:

                                                           

CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD EN LÍMITES

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  CONTINUIDAD
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  Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

  1. Que el punto x = a tenga imagen. 2. Que exista el límite de la función en el punto x = a. 3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.
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  DISCONTINUIDAD
• Si una función no es continua en un punto, se dice que la función tiene una discontinuidad en ese punto y que la función es discontinua. En este artículo se describe la clasificación de discontinuidades para el caso más simple de funciones de una sola variable real.
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  Si alguna de las tres condiciones continuidad de no se cumple, la función es discontinua en un punto.

  
  

  TIPOS DE DISCONTINUIDAD; 

  1. No existe imagen.

  2. La imagen no coincide con el límite.

  3. Discontinuidad inevitable o de primera especie.

  4. De salto finito.

  5. De salto infinito.

  6. Discontinuidad esencial o de segunda especie.
• 7. Discontinuidad evitable.
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LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

¿QUÉ ES EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN?

Una función es una sucesión de puntos que se dirigen de acuerdo a una regla que es la ecuación o regla que se nos da, podemos tomar cualquier valor del eje x y saber a que valor en el eje y se acercara la sucesión de puntos cuando se acerca al valor en x especificado.

Ejemplo: Sea la función



Haciendo una pequeña tabla para graficar

X	Y
-2	3
-1	-3
0	5
1	-3
2	3

ahora hallemos el límite de esta función cuando x tiende a 2, será:



Es fácil ver en la grafica que tiende a -4, y si se remplaza x=1 en la función da –4, entonces:



Este acercamiento se entiende como el valor más próximo y debemos hacer claridad que si bien en ocasiones resulta ser el valor de la función en el punto escogido no siempre pasa esto.


Ejemplo: Hallar

Realizando una tabla y graficando queda: 

X	Y
-2	-0,33333
-1	-0,5
0	-1
1	e
2	1

Se observa en la gráfica que en x=1 no hay función por eso dibujamos la asintota como línea punteada. Si tratamos de encontrar un valor para x=1 nos encontraremos con una división por cero, y esto no es posible. Entonces veamos que en –1 se acerca al infinito por la derecha y al menos infinito por la izquierda. Entonces no hay límite por ser los dos valores diferentes.

PROPIEDADES DE LOS LIMITES

Límite de una constante, de una suma, de un producto, de un cociente, de una potencia, de una función, de una raíz, de un logaritmo.

TEMAS Y EJERCICIOS PROPUESTOS EN CLASE

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DOMINIO-RANGO Y GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN O RELACIÓN

El dominio de una función o relación es el conjunto de todos los valores independientes posibles que una relación puede tener. Es la colección de todas las entradas posibles. El rango de una función o relación es el conjunto de todos los valores dependientes posibles que la relación puede producir. Es la colección de todas las salidas posibles.

REPRESENTACIÓN DE GRÁFICAS

La gráfica de una función está formada por el conjunto de puntos (x, y) cuando x varía en el dominio D.

En el caso de dibujar la gráfica se tiende a escoger número pequeños para no extenderse.

LA CUESTIÓN MÁS CENTRADA A TODO ESTE TEMA ES SIEMPRE REEMPLAZAR A X PARA PODER ACCEDER A DATOS O RESULTADOS CONCRETOS.

TEMAS DE CLASE

FUNCIONES Y TIPOS DE FUNCIONES

¿QUÉ ES?

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es FUNCIÓN de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadradodel radio, A = π·r2. Del mismo modo, la duración T de un viaje de tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que este se desplace: la duración es inversamente proporcional a la velocidad, d / v. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente.

Una función es un objeto matemático que se utiliza para expresar la dependencia entre dos magnitudes, y puede presentarse a través de varios aspectos complementarios. Un ejemplo habitual de función numérica es la relación entre la posición y el tiempo en el movimiento de un cuerpo.

Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen.

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio Se designa por D.

El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente. Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x). Luego, y= f(x)

El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen.

D = {x ∈ R / ∃ f (x)}

El rango es el conjunto de elementos que son imágenes.

R = {f (x) / x ∈ D}

VIDEO QUE TE ACLARA LAS DUDAS QUE TENGAS

TIPOS DE FUNCIONES

En matemáticas, una función es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el con dominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del con dominio f(x).
Funciones Algebraicas


En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Función lineal

La función lineal es del tipo:

y = mx

Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.

m es la pendiente de la recta.

Si m > 0 la función es creciente

Si m < 0 la función es decreciente

Funciones exponencial

La función exponencial es del tipo:

función

f(x)= ax se llama función exponencial de base a y exponente x.

COMO RESOLVER UNA ECUACIÓN EXPONENCIAL:

PROPIEDADES: Dominio, reales

Rango : reales positivos

ES CONTINUA

Funciones explícitas

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

Funciones Implícitas

Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

Funciones Polinómicas

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.

Funciones Constantes

El criterio viene dado por un número real.

Funciones Polinómica De Primer Grado

Función Cuadrática




Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

La ecuación del eje de simetría es : eje

x= -b/2a

ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Funciones logarítmicas

Solución de una función logarítmica con el profe Julio.

Funciones Racionales
El criterio viene dado por un cociente entre polinomio.

TEMÁTICA VISTA EN CLASE (EJERCICIOS Y EXPLICACIONES CLARAS)